Voici une autre démonstration plus compliquée qui nous permet de démonter qu'il existe que cinq solides.

• (n-2)*180° est égale à la somme des angles internes d'un polygone de n côtés et (n-2)*180/n est la mesure d'un angle d'un polygone régulier de n cotés.
• Si nous considérons un polyèdre, les sommets adjacents à un sommets de celui-ci sont coplanaires. Soit S un sommet d'un polyèdre régulier et S1 et S2 sommets adjacents de S. Le plan P est formé de S1 et S2 et H est la projection de S sur P.

• les angles S1^S^S2 et S1^H^S2 sont inférieur à pi.

• S1,S,S2 trois sommets consécutifs d'une même face du polyèdre donc S.S1=S.S2 et S1.S2>S.S1. S1.S2 est soit une arête, soit une diagonale du polyèdre.

• Par projection nous avons S1.H=S2.H et S1.H<S.S1

• sin.S1^S^S2/2=0.5*S1.S2/S.S1 et sin.S1^H^S2/2=0.5*S1.S2/S.1H

• donc sin.S1^S^S2/2<sin.S1^H^S2/2 et comme les angles sont inférieur à pi nous obtenons S1^S^S2<S1^H^S2 (1)

• Soit p le nonbre de côtés adjacents à S et n le nonbre de côtés d'une face du polyèdre alors il est évident que p*S1^H^S2 = 2 pi

• Soit I le centre de la face déterminé par S1,S,S2 , on peut dire que S1^I^S2 +S1^S^S2=pi et n*S1^I^S2=2pi

• D'où 2pi=n*(pi-S1^S^S2)

• D'où S1^H^S2=2pi/P et S1^S^S2=n-2/n*pi

• donc (1) s'explique (n-2)*p<2n

• n et p sont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 3, donc n vérifie nécéssairement la condition: 3(n-2)<2n,c'est à dire n<6

• voici les résultats que nous obtenons:

• nous venons encore de prouver qu'il n'en existe que cinq.