Pour prouver qu'il n'y a que cinq solides, Schläfli part du théorème d'Euler. Il utilise donc la fameuse formule F+S-A=2
Il appelle "p" le nombre de côtés de chaque face polygonale et "q" le nombre de côtés issus de chaque sommet.
Cette démonstration a pour but de montrer qu'il n'existe pas d'autres polyèdres réguliers que ceux que nous connaissons: le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
Il est évident que: p*F=q*S=2*A
En français: le nombre de faces multiplié par le nombre de côtés de chaque face est égale au nombre de sommets multiplié par le nombre de côtés issus de chaque sommet et est égale au nombre d'arêtes multiplié par deux (chaque arête ayant été compté deux fois précédemment car elle est en contact avec deux faces).
p.F = q.S = 2.A
On en déduit que: F/(1/p) =S/(1/q) = A/(1/2) = (F + S - A)/(1/q + 1/p - 1/2) = 2/(1/q + 1/p - 1/2)
D'où: F = 4q/(2p + 2q - pq), S = 4p/(2p + 2q - pq) et A = 2pq/(2p + 2q - pq).
Les nombres F, S et A étant des nombres entiers positifs, on a nécessairement: (2p + 2q - pq) > 0, soit (p - 2).(q - 2) < 4.
On sait donc que:
p-2>=1
q-2>=1
et que (p-2)(q-2)>4
On recherche les entiers positifs, situés dans ]0;4[ qui verifient cette dernière équation. On a 1*1; 1*2; 1*3; 2*1; 3*1; On en déduit donc le tableau ci-dessous:
| p-2 | q-2 | p | q |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 3 | 3 | 5 |
| 2 | 1 | 4 | 3 |
| 3 | 1 | 5 | 3 |
On obtient donc les couples {3;3}tétraèdre, {3;4}octaèdre, {3;5}icosaèdre, {4;3}cube, {5;3}dodécaèdre. Il correspondent au solide de Platon déjà connus.
Or, il n'existe pas d'autres nombres entiers positifs qui vérifient l'équation. Donc les 5 polyèdres de Platon sont bien les 5 uniques polyèdres réguliers.