Les quatres corps de base
Dans un de ses dialogues, intitulé Timée, Platon se propose de mettre sur pied un système "cohérent" d'explication du monde. Pour lui, l'Univers a été créé à partir de quatre corps de base : la Terre, le feu, l'air et l'eau.
"[...] Par ces procédés et à l'aide de ces corps ainsi définis et au nombre de quatre, a été engendré le corps du Monde." Après avoir présenté et justifié l'existence de ces quatre corps comme éléments constituants du Monde, Platon nous donne son idée sur l'ordre dans lequel ils doivent s'agencer :
"[...] De là vient que Dieu, commençant la construction du Corps du Monde, a débuté, pour le former, par prendre du feu et de la terre. Mais, que deux termes forment seuls une belle composition, cela n'est pas possible, sans un troisième"
"[...] Ainsi, le Dieu a placé l'air et l'eau au milieu, entre le feu et la terre, et il a disposé ces éléments les uns à l'égard des autres, autant qu'il était possible dans le même rapport, de telle sorte que ce que le feu est à l'air, l'air le fût à l'eau, et que ce que l'air est à l'eau, l'eau le fût à la terre. De la sorte, il a uni et façonné un Ciel à la fois visible et tangible." Vers la fin du Timée, le philosophe exprime son souci de mathématiser l'Univers. Ces quatre corps, bases de la construction du monde, sont des polyèdres réalisés à partir de triangles rectangles de deux types :
"[...] Or tous les triangles tirent leur principe de deux types de triangles, dont chacun a un angle droit et les autres aigus." Les premiers sont des triangles rectangles isocèles (i.e. les moitiés d'un carré découpé selon sa diagonale) :
"[...] De ces triangles, l'un a, de part et d'autre, une partie de l'angle droit divisée par des côtés égaux" Les seconds sont des triangles rectangles dont les angles aigus mesurent 30° et 60° (i.e. les moitiés d'un triangle équilatéral découpé suivant l'une de ses hauteurs) :
"[...] L'élément mathématique de cette espèce est celui dont l'hypoténuse a une longueur double de celle du plus petit côté de l'angle droit." Pour confectionner ses quatre solides, Platon a besoin de triangles équilatéraux et il nous explique comment les construire à partir de triangles rectangles 30°/60°... Là encore, comme dans tout ce qui touche à la géométrie, Platon recherche la pureté, l'harmonie et l'équilibre. Il nous livre une construction un peu plus technique qui fait apparaître une répartition équilibrée des triangles rectangles autour du centre de gravité :
"[...] Deux de ces triangles-là s'accolent selon la diagonale du quadrilatère, et cette opération est renouvelée trois fois, de manière que toutes les diagonales et tous les petits côtés des angles droits viennent coïncider en un même point qui est comme un centre. Il naît ainsi un triangle équilatéral unique, qui est composé de petits triangles, au nombre de six."
Nous allons tenter d'expliquer l'importance des 4 solides polyèdres réguliers pour Platon.
Pour commencer simple, nous allons dire que Platon cherche à expliquer que tous ce qui existe est parfait. Or pour Platon tout ce qui est parfait s'explique par les mathématiques (et de là l'importance de l'influence des pythagoriciens). Mais pour tous les philosophes seules les choses intelligibles sont parfaites et donc s'expliquent par les mathématiques. Le but final de ce dernier est alors de montrer que les choses sensibles (donc tous ce qui n'est pas intelligibles) qui sont donc irrégulières présentes justement une régularité dans leurs irrégularités.
Pour cela, Platon raconte dans le Timée la création du monde par le démiurge (sorte de dieu des dieux grecs), avec l'âme du monde immortelle (et donc intelligibles). Ainsi avec cette âme parfaite, (cette dernière "fabrique" les choses intelligibles et sensibles) Platon arrive au fait que les mouvements de tous les corps présentes permanence et régularité. Or le mouvement parfait est circulaire. Ainsi Platon formule la prase suivante: "la combinaison des mouvements circulaires réguliers de l'âme du monde rend compte même des mouvements irréguliers qui agitent les choses sensibles". Pour expliquer ces choses sensibles, Platon associa aux quatre éléments qui constitue les choses sensibles les 4 polyèdres convexes réguliers c'est à dire le feu au tétraèdre, l'air à l'octaèdre, l'eau à l'icosaèdre et la terre au cube, car à l'époque nous connaissions toutes les propriètés liées à ces polyèdres. Platon a ainsi relié les choses sensibles aux mathématiques.